Takaisin kurssin pääsivulle

Koeasioita

Sivun sisältö:

Kurssikoe 18.12.2006

Koe meni hyvin, päätelleen siitä, että puolet läpäisseistä sai arvosanan 5. Yhteensä kokeisiin osallistuneita oli 43, joista 34 läpäisi. Alla tarkempi arvosanajakauma sekä linkit malliratkaisuihin. 
                 **
                ***
                ***
                ***
    *** ***   * ***
  * *** *** *** ***
 1   2   3   4   5

Malliratkaisut: PS, PDF

Arvosteluperusteet

Erittelen seuraavaksi yksittäisten tehtävien arvosteluperusteita, sekä muutamia yleisimmin esiintyneitä virheitä.

Tehtävä 1

Tehtävässä oli tarkoitus tutkia derivaatan etumerkkiä ja päätellä sen avulla, milloin funktio on kasvava tai vähenevä, ja missä sillä on ääriarvoja. Tämä oli sujunut koko lailla hyvin, kunhan rationaalifunktion derivoiminen oli onnistunut. Useimmiten osoittajasta oli unohtunut miinusmerkki, jolloin sinne tuli x^2+4, joka ei ole koskaan 0. Joissakin papereissa derivaatan etumerkit oli määritetty oikein, mutta funktion kasvua kuvaavat nuolet piirretty silti väärin, vieläpä epäjohdonmukaisesti. Tällaisista virheistä ei kuitenkaan menettänyt montaa pistettä (1-2). Koska tehtävässä kysyttiin ääriarvokohtia, niiden mainitsematta jättäminen maksoi yhden pisteen, vaikka tehtävä olisi ollut muuten oikein.

Muutamassa paperissa oli unohdettu, että myös x=-2 on derivaatan nollakohta. Tästä menetti yhden pisteen. Samoin menetti yhden pisteen siitä, ellei ollut mitenkään huomioinut sitä, ettei funktio ole määritelty nollassa. Tämän vuoksi on nimittäin määritettävä derivaatan etumerkit erikseen väleillä ]-2,0[ ja ]0,2[, vaikka nämä merkit sattuivatkin tässä tapauksessa olemaan samat.

Tässä tehtävässä esiintyi myös paljon "itse keksittyjä laskusääntöjä". Se, että osamäärässä oli derivoitu osoittaja ja nimittäjä erikseen, oli näistä pienimpiä. Melko tavallinen virhe oli (x^2-4)/x^2=-4. Kokeilkaapa sijoittaa tuohon vaikka x=1 tai x=2. Tällainen laskenta johtaa melko varmasti nollaan pisteeseen, ellei ratkaisussa ole selitetty sanallisesti, mitä aiotaan tehdä, jolloin voi saada 1 lisäpisteen.

Tehtävä 2.

Molemmista integraaleista sai maksimissaan 3 pistettä. Tehtävä oli suoraviivainen, mutta harva oli tajunnut avata ensimmäisessä integraalissa sulut saadakseen integroitavaksi yksinkertaisen polynomin: (x-2)^2 = x^2-4x+4. Pisteitä menetti lähinnä laskuvirheistä. Jälkimmäisessä integraalissa piti tietysti muistaa, että integraalifunktio on ln.

Tehtävä 3. a)

Tässä tehtävässä ylivoimaisesti suurin virhelähde oli asteiden käyttäminen kulmanyksikkönä. Tämä ei sinänsä ole virhe, koska tehtävässä ei pyydetty käyttämään mitään tiettyä kulmanyksikköä. Derivointi- ja integointikaavat eivät kuitenkaan toimi, jollei käytä radiaaneja, mikä pitäisi ottaa integroitaessa huomioon. Tästä virheestä menetti kuitenkin vain 1 pisteen.

Toinen yleinen virhe oli se, että integroitiin suoraan 0:sta 5:een ottamatta huomioon sinin mahdollisia nollakohtia. Tämä tuottaa väärän vastauksen, koska sini on positiivinen välillä [0,π] ja negatiivinen välillä [π,5]. Jälkimmäisen välin yli laskettu pinta-ala tulee siis integraalista negatiivisena, ja vähentää täten kokonaisintegraalia. Jos ei tätä ottanut huomioon, menetti 2 pistettä.

Tehtävä 3. b)

Tämä tehtävä oli laskuharjoituksissa. Tehtävänantoon kuitenkin lipsahti virhe. Siinä nimittäin pyydettiin arvioimaan integraalia välillä [0,1] laskemalla yläsumma välillä [0,2], vaikka piti tietysti arvioida integraalia välillä [0,2]. Tämä ei kuitenkaan tehnyt tehtävää mahdottomaksi tai edes vaikeuttanut sitä, mutta saattoi hämätä joitakin laskijoita. Otin tämän huomioon niissä papereissa, joissa näin näytti käyneen. Yleensä tätä tehtävää ei kuitenkaan ollut tajuttu lainkaan tai sitten se oli lähes täysin oikein ratkaistu.

Monesti oli unohdettu kertoa funktion suurin arvo osavälin pituudella yläsummaa laskettaessa. Tästä menetti kaksi pistettä. Jossakin paperissa oli kertomisen sijaan suoritettu yhteenlasku, toisissa oli korotettu myös välin pituus toiseen potenssiin. Tällaisista virheistä meni vakavuuden sekä perustelujen järkevyyden mukaan 1-2 pistettä.

Tehtävä 4. a)

Tämä tehtävä oli suoraviivainen, ja se oli yleensä osattu täydellisesti. Melko monilta oli unohtunut miinusmerkki toisesta alkuarvoehdosta x'(0)=-1. Otin tästä yhden pisteen.

Tehtävä 4. b)

Tämä tehtävä oli ollut hieman eri luvuilla laskuharjoituksena, ja se olikin yleensä osattu hyvin. Jos oli tulkinnut suoraan verrannollisuuden tarkoittavan sitä, että ainetta vähenee tietyssä ajassa aina yhtä paljon, sai nolla pistettä. Jos oli kirjoittanut suoraan vastauksen ilman mitään mainintaakaan eksponentiaalisesta kasvusta tai separoituvasta differentiaaliyhtälöstä tai muuten perustellut ratkaisutapaansa, sai korkeintaan 2 pistettä.

Tehtävä 5

Tehtävä oli helpointa ratkaista käänteismatriisin avulla, mutta myös eliminointimenetelmän käyttäminen hyväksyttiin. Jotkut olivat jopa ratkaisseet toisen yhtälöryhmän käänteismatriisin avulla, toisen eliminointimenetelmän avulla, jostain tuntemattomasta syystä. Eliminointimenetelmää käyttäneille annettiin pisteitä sen mukaan, miten hyvin menetelmää oli käytetty. Jos eliminointi näytti lähinnä satunnaiselta ja oli täynnä laskuvirheitä, annettiin 1 piste. Jos taas eliminoinnissa sattui vain jokin pieni laskuvirhe, sai 5 pistettä. Jos ei ollut käyttänyt eliminointia lainkaan, ratkaisu oli yleensä mennyt täysin väärin, ja tällöin tuloksena oli 0 pistettä.

Jos oli kirjoittanut matriisikertolaskun väärinpäin: X = B A^{-1}, vaikkakin saanut oikean tuloksen, menetti yhden pisteen.

Kurssikoe 17.1.2007

Kokeeseen osallistui yhteensä 36 opiskelijaa, joista 28 läpäisi (78 %). Lähes puolet läpäisseistä sai arvosanan 5. Alla tarkempi arvosanajakauma sekä linkit malliratkaisuihin. 
                ***
                ***
***             ***
*** ***   *  ** ***
 1   2   3   4   5

Malliratkaisut: PS, PDF

Arvosteluperusteet

Tehtävä 1

Tehtävässä oli tarkoitus tutkia funktion kulkua derivaatan avulla. Koska kysyttiin ääriarvoja suljetulla välillä, riitti määrittää derivaatan nollakohdat ja tutkia funktion arvoja niissä sekä välin päätepisteissä. Jotkut olivat tehneet päätelmiä merkkikaavion avulla, mikä oli myöskin (tietysti) sallittua.

Melko tavallista oli, että derivaatan murtolauseketta sievenneltiin järjettömillä tavoilla, jolloin saatiin vääriä tuloksia. Nämä saattoivat johtaa jopa tehtävän helpottumiseen, jolloin niistä täytyi vähentää hieman enemmän kuin pelkästä huolimattomuusvirheestä. Jos ratkaisun idea kuitenkin oli selvästi näkyvissä, sai tehtävästä vähintään 1-2 pistettä.

Joillekin on ilmeisesti kovin epäselvää, milloin tarkastellaan funktiota ja milloin sen derivaattaa. Jos esimerkiksi kysytään funktion nollakohtia, jotkut ratkaisevat derivaatan nollakohdat, jos kysytään funktion arvoa jossain pisteessä, jotkut laskevat derivaatan arvon. Tämäntyyppiset virheet johtavat helposti nollaan pisteeseen, ellei kyse ole selvästi -yksittäisestä huolimattomuudesta.

Tehtävä 2

Ensimmäisessä integraalissa kannatti ensin avata sulut, jotta pääsi integroimaan yksinkertaista polynomia: (x-1)^2 = x^2-2x+2. Hyvin monet luulivat, että funktion f(x) = 1/x^3 = x^(-3) integraalifunktio olisi F(x) = ln(x^3) tai jotain vastaavaa. Tämä ei pidä paikkaansa, vaan logaritmifunktio tulee kyseeseen vain, jos nimittäjän potenssi on 1 (eli funktiolle 1/x = x^(-1)). Muuten potenssifunktio integroidaan aivan normaalisti, eli funktion f(x) = x^(-3) integraalifunktio on F(x) = -1/2*x^(-2).

Kumpikin integraali oli kolmen pisteen arvoinen. Edellä mainitusta logaritmin käytöstä menetti siis kolme pistettä. Laskuvirheistä, joista tärkeimpiä olivat (-1)^2 = -1, -(-1) = -1 ja muut merkkivirheet, menetti yleensä yhden pisteen.

Tehtävä 3. a)

Tehtävässä piti löytää funktion mahdolliset nollakohdat väliltä [1,5] ja integroida sitten funktio erikseen nollakohtien välissä. Kullakin osavälillä, jos tulos oli negatiivinen, se piti vaihtaa positiiviseksi, jotta se vastaisi todellisesta pinta-alaa. Tehtävän funktiolla oli vain yksi nollakohta. Jos tätä ei otettu huomioon, vaan integroitiin suoraan 1:sta 5:een, menetti 2 pistettä. Jotkut tosin integroivat funktiota erikseen väleillä [1,2] ja [2,5], mutta lisäsivät vain tulokset yhteen tarkastelematta mahdollista etumerkkiä. Tästä menetti myös 2 pistettä.

Tehtävä 3. b)

Ks. kurssikokeen 18.12.2006 tehtävä 3.b). Tässä versiossa kirjoitusvirhe oli korjattu.

Tehtävä 4. a)

Jos osaa separoituvan yhtälön ratkaisumenetelmän, tehtävä ei tuottanut juuri ongelmia. Arvailut eivät tässä johda mihinkään, vaan menetelmä on osattava. Arvailuista voi kuitenkin saada jonkin armopisteen, mikäli niistä näkee, että vastaajalla on jotain käsitystä siitä, miten oikea menetelmä etenee.

Melkein kaikilla niillä, jotka osasivat ratkaisumenetelmän, esiintyi pieni huolimattomuusvirhe. Kun alkuarvoehdossa y(0) = -1 funktio y saa negatiivisen arvon, ei voi olettaa (tietenkään) että y olisi positiivinen. Siispä itseisarvoja ei saa jättää noin vain pois lausekkeesta ln |y|, vaan y:n etumerkki on tällöin vaihdettava. Siis: ln |y| = ln(-y). Jos siis kirjoitti jotain sellaista kuin ln|y| = ln y, vähennettiin yksi piste, vaikka virhe ei välttämättä näy lopputuloksessa. Se nimittäin yleensä korjautui toisella virheellä, nimittäin sillä, että vakioksi y_0=e^C valittiin -1, vaikka e^C ei tietenkään voi koskaan olla negatiivinen.

Tehtävä 4. b)

Kukaan ei ollut ratkaissut tätä oikein. Muutama hyvä yritys kuitenkin löytyi. Tarkoitus oli derivoida funktio x, sijoittaa derivaatat differentiaaliyhtälöön ja katsoa, millä k:n arvolla yhtälö toteutuu. Derivointi ja sijoittaminen olivat yleensä onnistuneet, mutta ongelmaksi tuntui muodostuva se, ettei k:n arvoja osattu ratkaista. Tällaisessa tapauksessa sai kuitenkin 4 pistettä.

Tehtävä 5

Ks. kurssikokeen 18.12.2006 tehtävä 5.

Yhteiskuulustelu 21.2.2007

Kokeeseen osallistui yhteensä 18 opiskelijaa, joista 13 läpäisi kokeen (72 %). Jälleen kerran puolet läpäisseistä sai arvosanan 5. Koe oli ehkä hieman vaikeampi kuin edelliset. Alla tarkempi arvosanajakauma sekä linkit malliratkaisuihin. Huom! Koska tehtävässä 3.b) oli ratkaisuun vaikuttava virhe, jätin koko kolmostehtävän arvostelematta, ja muutin pisterajat seuraavasti:
11 -> 1, 12-14 -> 2, 15-17 -> 3, 18-20 -> 4, 21-24 -> 5.
Tällä tavalla joidenkin arvosanat nousivat hieman, eikä kenenkään arvosana pudonnut. 
                ***
                ***
            *** ***
            *** ***
    ***     *** ***
*** ***     *** ***
 1   2   3   4   5

Malliratkaisut: PS, PDF

Arvosteluperusteet

Tehtävä 1

Tehtävän oli tarkoitus olla suoraviivainen ja helppo, jokaisesta oikeasta derivaatasta sai kaksi pistettä. Viimeinen kohta tuotti kuitenkin ongelmia, koska hyvin harva osasi yhdistetyn funktion derivointisäännön käytön. Monet yrittivät sen sijaan käyttää tulon derivaattaa, ajatellen ilmeisesti, että ln(sin x) tarkoittaa logaritmin ja sinin tuloa, siis ln x * sin x. Koska tämä viimeinen kohta oli niin vaikea, annoin siitä yhden pisteen, jos vastauksesta kuitenkin näkyi, että logaritmin ja sinin derivaatat tunnettiin.

Toinen derivoitava lauseke oli murtolausekkeiden summa, mutta sen olisi voinut muuttaa potenssimuotoon. Osamäärän derivointisäännön käyttäminenkään ei ole väärin, mutta yllättävän monet olivat näin tehdessään kirjoittaneet esimerkiksi D 2 = 2, vaikka vakion derivaatta on tietysti nolla. Tästä sakotin kuitenkin vain yhden pisteen, jos sääntöä oli muuten käytetty oikein.

Tehtävä 2

Tämäkin tehtävä oli suoraviivainen. Tarkoitus oli vain tajuta, että virtausnopeus täytyy integroida annetulla välillä, minkä useimmat olivat tehneetkin. Integroinnissa sattui sitten erilaisia virheitä, lähinnä huolimattomuuksia, jotka maksoivat pisteitä.

Tehtävä 3. a)

Tehtävä oli perinteinen ääriarvojen määrittämistehtävä. Yllättävän moni oli epäonnistunut derivaatan nollakohtien määrittämisessä, koska ei ollut tajunnut käyttää tulon nollasääntöä; jos nimittäin x cos x = 0, niin on joko x = 0 tai cos x = 0. Oikeasta derivaatasta sai jo pisteen, samaten siitä, jos vastauksesta näkyi, mitä aiotaan tehdä (siis ratkaista nollakohdat jne.), vaikka ratkaisu olisikin pysähtynyt siihen. Jotkut olivat ryhtyneet derivoimaan funktiota sin x + cos x. Tämä johtaa vaikeampiin laskuihin, enkä siksi ottanut lisävirhettä väärän funktion käytöstä.

Tehtävä 3. b)

Tämä tehtävä oli napattu luentomateriaalin esimerkistä. Tehtävänantoon oli kuitenkin kopiointivaiheessa lipsahtanut virhe. Tarkoitus oli sanoa, että "paistin lämpenemisnopeus on joka hetki suoraan verrannollinen uunin ja paistin lämpötilojen erotukseen" eikä "paistin lämpötila on joka hetki...". Koska tämä virhe saattoi johtaa joitakin harhaan, päätin jättää kyseisen tehtävän arvostelematta, ja asettaa pisterajat uudestaan. Kukaan ei kylläkään ole huomauttanut virheestä, ja itsekin huomasin sen vasta aivan viime päivinä (10.3.).

Jotkut olivat osanneet ratkaista tehtävän oikein. Riippuen hieman siitä, miten ratkaistavan yhtälön muotoili, saattoi joutua integroimaan lauseketta 1/(200-T). Tästä tulee -ln(200-T), ja jos logaritmin edestä puuttui miinusmerkki, olisi menettänyt yhden pisteen, mikäli arvostelua ei olisi muutettu. Tämä virhe ei kuitenkaan välttämättä vaikuta lopputulokseen, sillä se korvautuu myöhemmin sillä, että vakion e^C olettaa negatiiviseksi, mikä tietysi on myös väärin (eksponenttifunktio on aina positiivinen).

Tehtävä 4

Tämä tehtävä oli sama kuin joulukuun tentissä. Tällä kertaa yllättävän moni oli joko unohtanut tyystin integroimisvakiot, tai sitten käsitellyt niitä tavalla tai toisella väärin. Jos vakiot oli unohdettu kokonaan, sai vain 1 pisteen. Jos niitä oli käsitelty väärin, esimerkiksi unohdettu integroida tai lisätä toinen vakio, sai 2-4 pistettä, riippuen siitä, miten hyvin tehtävä oli muuten osattu.

Tehtävä 5. a)

Vain harva oli yrittänyt tätä. Tehtävä oli joko osattu täydellisesti, tai sitten ei ollenkaan.

Tehtävä 5. b)

Tehtävä ratkesi helpoiten eliminointimenetelmän avulla, vaikka tätä ei erikseen vaadittu. Kumpikin yhtälöryhmä oli 3 pisteen arvoinen. Huolimattomuusvirheistä menetti 1-2 pistettä. Jos ratkaisumenetelmä oli molemmissa kohdissa epäselvä tai puutteellinen (ja lisäksi vastaus väärin), saattoi koko tehtävästä saada vain 1-2 pistettä.

Yhteiskuulustelu 4.4.2007

Kokeeseen osallistui yhteensä 12 opiskelijaa, joista 4 läpäisi kokeen (33 %). Alla tarkempi arvosanajakauma sekä linkit malliratkaisuihin. 
            ***    
            ***    
    ***     *** ***
    ***     *** ***
 1   2   3   4   5

Malliratkaisut: PS, PDF

Arvosteluperusteet

Tehtävä 1

Tämä tehtävä oli luentomateriaalin esimerkistä. Tarkoitus oli derivoida funktio, ja derivaatan etumerkkiä tutkimalla päätellä, miten funktio kulkee. Virheellisissä vastauksissa oli yleensä menty sekaisin funktiosta ja derivaatasta. Oli esimerkiksi derivaatan etumerkkiä tutkittaessa laskettu funktion arvoja tai selvitetty derivaatan maksimit ja mininit. Näistä sitten vähennettiin pisteitä virheen vakavuuden mukaan.

Pelkästä derivoinnista sai jo pisteitä, samoin sanallisesta selvityksestä siitä, mitä aiotaan tehdä.

Tehtävä 2

Tehtävä osoittautui yllättävän hankalaksi, vaikka kyseessä oli vain potenssifunktioiden integroiminen. Useimmat eivät olleet tajunneet (vaikka tämäkin esimerkki oli lähes suoraan materiaalista), että itseisarvojen tapauksessa on integroitava erikseen negatiivisella ja positiivisella puolella. Funktion f(x) = |x^3| integraalifunktio ei nimittäin ole F(x) = |1/4 x^4|. Tällä funktiollahan on nimittäin negatiivinen derivaatta x-akselin vasemmalla puolella, kun taas f on aina epänegatiivinen (piirrä kuva). Tästä virheestä vähennettiin 2 pistettä.

Tehtävä 3. a)

Tehtävässä piti ottaa huomioon, että siellä missä funktio on negatiivinen, integraali tuottaa negatiivista pinta-alaa, ja se on siksi laskettava erikseen. Koska integraali oli muuten helppo, tämä virhe maksoi 3 pistettä. Monet olivat tulkinneet välin [0, 3π/2] väliksi [0,3π; 2] tai jotain sinnepäin. Tästä en kuitenkaan vähentänyt pisteitä.

Tehtävä 3. b)

Vain yksi oli yrittänyt tätä, ja hänkin oli ruksinut oman vastauksensa yli, vaikka se oli melkein oikein. (Arvostelin sen a)-kohdan sijasta, koska a)-kohdasta olisi tullut vähemmän pisteitä.)

Tehtävä 4

Tehtävässä oli kyse eksponentiaalisesta kasvusta. Ratkaisuissa siintyi kaikenlaisia huolimattomuusvirheitä, mutta jos periaate oli oikea, sai jo helposti 3 pistettä.

Monet olivat jälleen olettaneet, että kuoriaisten lisääntyminen olisi lineaarista, eli että lukumäärä olisi suoraan verrannollinen aikaan. Tämä ajattelu, joka toistuu valitettavan usein, johtaa 0 pisteeseen.

Tehtävä 5. a)

Tehtävä oli sama kuin viime kokeessa. Jälleen kerran tehtävä oli joko osattu täysin tai sitten ei ollenkaan.

Tehtävä 5. b)

Tämäkin tehtävä oli sama kuin viime kokeessa. Tehtävä ratkesi helpoiten eliminointimenetelmän avulla, vaikka tätä ei erikseen vaadittu. Kumpikin yhtälöryhmä oli 3 pisteen arvoinen. Huolimattomuusvirheistä menetti 1-2 pistettä.

Otin yhden pisteen myös siitä, jos vastauksessa oli mainittu, että jälkimmäisellä yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua, mutta perustelu jäi puutteelliseksi. Perusteluksi ei esimerkiksi käy, että pitkällisenkään pyörittelyn jälkeen opiskelija ei löydä ratkaisua, tai että ratkaisun löydyttyä takaisinsijoitus yhtälöihin tuottaa virheen. Edellinen tilanne kertoo nimittäin siitä, ettei opiskelija osaa käyttää valitsemaansa menetelmää tai ei jaksanut yrittää tarpeeksi kauan, jälkimmäinen puolestaan siitä, että laskuissa tuli jokin huolimattomuusvirhe. Jos yhtälöryhmällä ei nimittäin ole ratkaisua, ei mitään takaisinsijoitettavaa pitäisi olla olemassakaan.

Takaisin kurssin pääsivulle