Takaisin kurssin pääsivulle

Koeasioita

Kurssikoe 17.1.2006

Koe on tarkistettu. Koe meni yleisesti ottaen erittäin hyvin. Yhteensä kokeisiin osallistuneita oli 99, joista 84 läpäisi. Alla tarkempi arvosanajakauma sekä linkit malliratkaisuihin. 
                            ******
                            ******
                            ******
                            ******
                            ******
                            ******
                  **        ******
       ****** ******   **** ******
       ****** ****** ****** ******
       ****** ****** ****** ******
       ****** ****** ****** ******
       ****** ****** ****** ******
       ****** ****** ****** ******
   1      2      3      4      5

Malliratkaisut: PDF.

Arvosteluperusteet

Erittelen seuraavaksi muutamia yleisimmin esiintyneitä virheitä ja niiden arvosteluperusteita.

Tehtävä 1

Tehtävässä oli tarkoitus muodostaa tarvittavan pahvin pinta-alaa kuvaava funktio ja etsiä sen pienin arvo derivaatan avulla. Kätevintä oli valita muuttujaksi laatikon sivun pituus ja ratkaista korkeus tämän avulla, kun tilavuus oli tunnettu. Jos valitsi muuttujaksi korkeuden, sai yleensä paljon vaikeamman funktion (joka sisälsi neliöjuuria), enkä muista että kukaan olisi ratkaissut tehtävää täysin oikein tältä pohjalta. Joillekin tällainen tehtävätyyppi oli täysin vieras, ja he saattoivat saada vain yhden säälipisteen, jos pahvin alaa kuvaavan funktion saattoi ajatella olevan muodostettu oikein.

Derivaatan nollakohdasta piti tarkistaa, että se todellakin on funktion pienin arvo. Merkkikaavio, kuva tai muu selitys riitti, mutta jos asiaa ei ollut lainkaan käsitelty tai se oli vain mainittu ilman perusteluja, menetti yhden pisteen.

Tehtävä 2

Tehtävän kolme integraalia pisteytettiin kukin kahdella pisteellä.

Ensimmäisessä integraalissa yleisin virhe oli integroimisvakion unohtaminen. Tästä menetti yhden pisteen.

Toisessa integraalissa oli joskus sievennettu logaritmeja väärin, mistä menetti yhden pisteen. Jos integraalifunktio oli jotain muuta kuin luonnollinen logaritmi, tuli tästä nolla pistettä.

Pinta-alan laskemisessa oli ehdottomasti yleisintä, että negatiivista integraalia ei muutettu positiiviseksi. Tämä maksoi yhden pisteen hyvin monelle. Ei riitä, että funktion integroi kahdessa osassa, niin kuin monet olivat tehneet. Tämän lisäksi on muutettava negatiiviset integraalit positiivisiksi, koska pinta-alan on oltava positiivinen joka välillä. Jotkut olivat tajunneet, että nollan ylä- ja alapuolella olevat alueet olivat symmetrisiä. Tällöin voi laskea vain toisen alan ja kertoa kahdella. Tämä tuottaa oikean tuloksen.

Tehtävä 3. a)

Tämä oli mahdollista ratkaista ainakin kahdella erilaisella tavalla. Yksi (kurssilla opittu tapa) oli muodostaa tehtävästä separoituva differentiaaliyhtälö ja ratkaista se. Tässä ei ollut aina osattu käsitellä oikein annettuja alkuarvoja; oli ehkä unohdettu integroimisvakio tms. Tällaisesta menetti 2-3 pistettä, virheen vakavuudesta riippuen.

Toinen tapa oli tunnistaa eksponentiaalisen kasvun malli, ilmoittaa suoraan ratkaisu eksponenttifunktiona ja ratkaista tarvittavat kertoimet alkuarvoista. Tässä oli pakko ottaa pisteitä, jos ratkaisu oli sekava tai perustelematon. Jotkut olivat laskeneet tehtävän koronkorkoperiaatetta soveltamalla, mutta ratkaisut olivat usein niin sotkuisia, ettei niistä saanut täysiä pisteitä.

Jos oli ajatellut aineen vähenemisen olevan lineaarista, tai noudattavan toisen asteen funktiota, rapsahti nolla pistettä.

Tehtävä 3. b)

Tämän tehtävän täydellinen ratkaisu olisi vaatinut sellaista päättelyä, jota kurssilla ei ollut opeteltu. Siksi suoraviivaisempi päättely, joka tosin johti jollain tavoin virheellisiin tuloksiin, hyväksyttiin. Hyväksytty ratkaisu oli y=±√(x²-4x+2), sekä tästä sievennetty muoto y=±|x-2| hyväksyttiin. Myös väärin sievennetty (mutta oikeampi) muoto y=±(x-2). Täydelliseen vastaukseen vaadittiin kuitenkin positiivisen ja negatiivisen vaihtoehdon huomioon ottaminen. Sen unohtaminen maksoi pisteen.

Tämä tehtävä oli yleensä osattu, jos sitä oli lainkaan ryhdytty tekemään. Tyypillisin virhe oli jo edellä mainittu negatiivisen vaihtoehdon unohtaminen. Lisäksi joiltakin oli unohtunut integroimisvakio (mitä alkuarvolla silloin tekee?), mistä menetti pari pistettä. Muutama oli huomannut, että ratkaisu sievenee kivasti, onnittelut heille.

Tehtävä 4. a)

Tehtävä oli niin lyhyt ja yksinkertainen, että pisteitä tuli yleensä yksi tai kuusi. Yhden pisteen sai siitä, jos osasi mainita, että vektorit ovat kohtisuorassa, kun niiden pistetulo on nolla. Jos oli osannut laskea matriisien kertolaskun Tx oikein, pääsi tehtävässä yleensä virheittä loppuun saakka. Aika monet olivat saaneet kertolaskusta Tx tulokseksi 2x2-matriisin, mikä on väärin. Tämän jälkeen myös pistetulon laskeminen on järjetöntä, koska pistetulo on määritelty vain vektorien välillä.

Tehtävä 4. b)

Tässä oli monenlaisia oikeita ratkaisuja. Eliminointimenetelmä oli ehkä kaikkein kätevin, siinäkin saattoi rivien järjestystä vaihtamalla helpottaa laskuja entisestään. Sijoitusmenetelmällä oli myös saatu oikeita tuloksia, samaten näiden sekoituksilla. Pisteitä meni yleensä laskuvirheistä (1-2 pistettä), sekä joskus siitä, että eliminointimenetelmää oli käytetty epäloogisesti.

Takaisin sivun alkuun.

Uusinta 22.2.2006

Tämä uusinta oli kenties hieman vaikeampi kuin varsinainen koe, tai sitten osallistujien taso oli heikompi. Tulokset jakautuivat nimittäin melko tasaisesti kaikkien arvosanojen kesken. Kokeeseen osallistuneista 30 henkilöstä 22 sai hyväksytyn tuloksen (73 %).

Arvosanajakauma: 

                            ******
       ******        ****** ******
       ****** ****** ****** ******
       ****** ****** ****** ******
****** ****** ****** ****** ******
****** ****** ****** ****** ******
   1      2      3      4      5

Malliratkaisut: PDF.

Arvosteluperusteet

Tässä kokeessa esiintyi mitä kummallisimpia virheitä, joiden vuoksi suorituksia oli melko vaikea arvioida. Yhdessä paperissa esimerkiksi luki 1. tehtävän ensimmäisellä rivillä -1/2*x^4 - 4/3*x^3 = -1/2*x^(-4) - 4/3*x^(-3). Olisin halukas kuulemaan, miksi kirjoittaja on päättänyt vaihtaa eksponentit negatiivisiksi. Armeliaasti vähensin tästä tempauksesta vain yhden pisteen. Pyytäisin kaikki muutenkin kiinnittämään huomiota esityksen siisteyteen ja tarkkuuteen. Jos tarkastaja joutuu arvailemaan, mitä kirjoittaja on tarkoittanut, hän saattaa helposti arvata väärin.

Tehtävä 1

Tehtävässä oli tarkoitus tutkia kyseistä polynomifunktiota sen derivaatan avulla. Siellä missä derivaatta on positiivinen, funktio on kasvava, ja siellä missä derivaatta on negatiivinen, funktio on vastaavasti vähenevä. Niissä kohdissa missä derivaatta on nolla, funktio saattaa siis saada ääriarvoja (mutta ei välttämättä saa). Tehtävässä ei ollut erikseen mainittu, tarkoitetaanko paikallisia vai globaaleja ääriarvoja, mutta tässä tapauksessa ne ovat sattumalta sama asia.

Yleensä tehtävä oli osattu melko hyvin. Puolet pisteistä (3) sai siitä, että osasi derivoida funktion ja ratkaista sen derivaatan nollakohdat. Toisen puolen sai, jos osasi derivaatan merkkiä tutkimalla perustella funktion kulun. Pelkkä oikea derivointi antoi jo yhden pisteen. Vaihtelevia määriä pisteitä (1-2) menetti, jos perustelut funktion kulkusuunnalle olivat niin epäselviä, ettei niitä voinut ymmärtää. Myös siitä oli pakko ottaa yksi piste, jos ei ollut maininnut ääriarvokohtia, vaikka derivaatan nollakohdat olisikin laskettu ja funktion kulku muuten selvitetty. Derivaatan nollakohta ei nimittäin välttämättä ole ääriarvokohta.

Monissa papereissa luki "Funktion ääriarvo löytyy derivaatan nollakohdasta tai välin päätepisteestä." Tämä pitää paikkansa ainoastaan suljetulla välillä. Lauseen mainitsemisesta sinänsä ei otettu virhettä, vaikka sitä ei voikaan soveltaa tähän tapaukseen.

Tehtävä 2

Tehtävässä piti ymmärtää, että integraalin avulla voidaan laskea kuvaajan ja x-akselin välinen ala. Kuvaajien väliin jäävä ala saatiin vähentämällä suuremmasta alasta pienempi. Jos oli ylipäätään ymmärtänyt tämän, oli yleensä osannut koko tehtävän.

Tehtävässä ei tarvitse jakaa tarkasteluväliä kahteen osaan, koska molemmat funktiot ovat koko välillä epänegatiivisia. Jakaminen ei kuitenkaan aiheuta virhettä, mikäli molemmat integraalit laskee sellaisenaan. Jotkut olivat vaihtaneet toisen integraalin miinusmerkkiseksi, mutta sitten vastaukseen kuitenkin korjanneet merkin toisin päin (koska ala ei selvästikään ole nolla). Tästä otettiin piste. Muutenkin esiintyi aika paljon merkkivirheitä, joista tyypillisesti vähennettiin yksi piste. Enemmän pisteitä menetti, jos oli muutenkin integroinut väärin.

Tehtävä 3.

Alkuarvotehtävät ovat aina olleet taattu nollan pisteen lähde kokeessa. Tällä kertaa tulokset olivat jopa melko hyviä. Monet olivat ymmärtäneet vähintään tehtävän periaatteen. Separoivan yhtälön ratkaisusta sai neljä pistettä, alkuarvon käytöstä integroimisvakion ratkaisemiseksi loput kaksi.

Melko monet olivat muodostaneet separoituvan yhtälön alun perin väärin. Vasemmalle puolelle oli saatu y'*y, kun siellä piti olla y'/y. Tämä helpottaa tehtävää, mutta siitä ei menettänyt kaikkia pisteitä, jos loppu oli muuten oikein. Toinen yleinen virhe oli väittää, että funktion 1/(4y) integraalifunktio olisi ln (4y), kun se on 1/4*ln y. Nimittäin, ln (4y)=ln y+ln 4, ja tämän derivaatta on tietysti 1/y, koska ln 4 on vakio. Lisäksi integroinnissa esiintyi muitakin virheitä. Tällaisista sakotetiin 1-3 pistettä.

Muutamassa tapauksessa yhtälö oli ratkaistu jollain väärällä ja epämääräisellä tavalla ilman minkäänlaista integrointia. Tällaisessakin tapauksessa saattoi saada pari pistettä, jos alkuarvoehtoa oli kuitenkin käsitelty oikein.

Tehtävä 4. a)

Tämä tehtävä oli samanlainen kuin viimeisissä laskuharjoituksissa. Jos oli osattu muodostaa annetuista tiedoista yhtälöryhmä, oli tehtävä yleensä muutenkin oikein. Huolimattomuusvirheistä vähennettiin 1-2 pistettä, pahoista ongelmista eliminointimenetelmässä jopa 4 pistettä. Eräässä paperissa oli oletettu, että pisteet merkitään muodossa (y,x) eikä (x,y). Tästä otin vain yhden pisteen, vaikka se helpotti ratkaisua enkä ole koskaan nähnyt tällaista merkintätapaa.

Tehtävä 4. b)

Tämä tehtävä osoittautui yllättävän hankalaksi. Ainoastaan yhdessä paperissa oli todistettavasti osattu matriisien kertolasku, ja siinäkin oli sattunut huolimattomuusvirhe. Jos kertolasku olisi osattu, ja lisäksi olisi muistettu, miten käänteismatriisin avulla saadaan yhtälöryhmän ratkaisu, tehtävä olisi ollut hyvin helppo. Tätä ei näemmä kukaan ollut muistanut. Päätin antaa kuitenkin kaksi pistettä, jos yhtälöryhmä oli ratkaistu oikein keinolla millä hyvänsä.

Takaisin sivun alkuun.

Uusinta 22.3.2006

Kokeiden tarkistaminen viivästyi, koska koepaperit olivat jonkin aikaa hukkateillä. Uusinta sujui melko hyvin, vaikka ensimmäinen tehtävä olikin aiheuttanut hankaluuksia. Muun muassa tästä johtuen kakkosia tuli selvästi muita arvosanoja enemmän. Kokeeseen osallistuneista 19 henkilöstä 16 sai hyväksytyn tuloksen (84 %).

Arvosanajakauma: 

       ******                     
       ******                     
       ******                     
       ******                     
       ******                     
       ****** ******              
       ****** ****** ****** ******
****** ****** ****** ****** ******
   1      2      3      4      5

Malliratkaisut: PDF.

Arvosteluperusteet

Tehtävä 1

Ensimmäisen tehtävän idea jäi monilta selvittämättä. Tämä tuli valitettavana yllätyksenä, koska muistaakseni tällaisia esimerkkejä oli käsitelty. Tarkoitus oli muodostaa suorakulmion pinta-alaa kuvaava funktio x*f(x) (leveys x, korkeus f(x)) ja tämän jälkeen derivaattaa tutkimalla selvittää, millä leveydellä tulee suurin arvo. Koska laskuissa esiintyi rationaalifunktioita ja neliöjuuria, ei tehtävässä kysytty, mikä suurin ala tulisi olemaan. Myöskään ei tarvinnut erityisesti perustella, miksi juuri derivaatan nollakohdassa tulee suurin arvo, koska tilanne on geometrian perusteella melko selvä.

Monet olivat ryhtyneet integroimaan käyrän alle jäävää alaa. Integrointi ei ollut onnistunut, koska tällaisen funktion integroimista ei kurssilla ollut opetettu. Lisäksi integroimalla ei saada vastausta tehtävän kysymykseen, koska suorakulmio ei mitenkään mahdollisesti voi täyttää koko käyrän alle jäävää alaa. Jos tehtävässä ei ollut muuta kuin integrointiyritys, sai siitä nolla pistettä.

Tehtävä 2

Tämä tehtävä oli suurimmalta osalta onnistunut hyvin. Tarkoituksena oli vain integroida annettu nopeus välillä [2, 5]. Pienistä huolimattomuusvirheistä integroinnissa menetti yhteensä 1-2 pistettä.

Tehtävä 3.

Tehtävän idea oli eksponentiaalinen kasvu. Tämä oli tajuttu jo kiitettävän monessa paperissa. Tarkoituksena oli ratkaista tilanteeseen sopiva separoituva differentiaaliyhtälö, mutta täydet pisteet sai myös, jos tunnisti eksponentiaalisen kasvun mallin ja ratkaisi tehtävän siltä pohjalta.

Huolimattomuusvirheet vakioiden määrittämisessä aiheuttivat 1-2 pisteen menetyksen. Jos ei ollut ratkaissut differentiaaliyhtälöä, tällaiset virheet maksoivat helposti enemmän, varsinkin jos vastaus oli sen verran epäselvä, että ei voinut olla varma, oliko kysessä todella huolimattomuusvirhe. (Kirjoittakaa enemmän selväkielisiä perusteluja, niin vältytte tältä.)

Tehtävä 4. a)

Tehtävä oli mennyt hyvin toisin kuin varsinaisessa kurssikokeessa tammikuussa, josta tehtävä oli sellaisenaan otettu.

Tehtävä oli niin lyhyt ja yksinkertainen, että pisteitä tuli yleensä yksi tai kuusi. Yhden pisteen sai siitä, jos osasi mainita, että vektorit ovat kohtisuorassa, kun niiden pistetulo on nolla. Jos oli osannut laskea matriisien kertolaskun Tx oikein, pääsi tehtävässä yleensä virheittä loppuun saakka. Jotkut olivat saaneet kertolaskusta Tx tulokseksi 2x2-matriisin, mikä on väärin. Tämän jälkeen myös pistetulon laskeminen on järjetöntä, koska pistetulo on määritelty vain vektorien välillä.

Tehtävä 4. b)

Tämän ratkaisemiseen oli useita tapoja. Eliminointimenetelmä oli ehkä kaikkein kätevin, siinäkin saattoi rivien järjestystä vaihtamalla helpottaa laskuja entisestään. Pisteitä meni yleensä laskuvirheistä (1 piste).

Takaisin sivun alkuun.

Takaisin kurssin pääsivulle