Takaisin kurssin pääsivulle
Koeasioita
Sivun sisältö:
Kokeeseen osallistui yhteensä 75 opiskelijaa, joista 58 suoritti kokeen
hyväksytysti (läpäisysuhde 77 %). Hieman yli kolmannes läpäisseistä sai
arvosanan 5. Alla tarkempi arvosanajakauma sekä linkit malliratkaisuihin.
**
***
***
** *** ***
* *** ** *** ***
*** *** *** *** ***
*** *** *** *** ***
1 2 3 4 5
Malliratkaisut: PS,
PDF
Arvosteluperusteet
Seuraavassa eritellään yksittäisten tehtävien arvosteluperusteita sekä
muutamia yleisimmin esiintyneitä virheitä.
Tehtävä 1
Tehtävässä oli tarkoitus tutkia derivaatan etumerkkiä ja päätellä sen
avulla, milloin funktio on kasvava tai vähenevä, ja missä sillä on
ääriarvoja. Tämä oli sujunut useimmilla hyvin. Joillekin oli tuottanut
ongelmia derivaatan nollakohtien laskeminen. (Kannattaa kerrata toisen
asteen yhtälön ratkaisu.) Jotkut olivat epähuomiossa tutkineet
derivaatan kasvua ja vähenemistä.
Pelkästä derivaatan löytämisestä sai jo 2 pistettä. Lisäksi pisteitä sai
derivaatan etumerkin määrittämisestä ja tähän liittyvistä tulkinnoista.
Jos derivaatan nollakohdat oli laskettu väärin, mutta tehtävä oli muuten
täysin oikein, vähennettiin 1-2 pistettä (1 laskuvirheestä, 2 väärästä
menetelmästä). Yhden pisteen menetti myös, jos oli laskenut tehtävän
muuten oikein, mutta ei ollut ilmoittanut tuloksia, esimerkiksi maininnut
missä funktiolla on ääriarvoja.
Tehtävä 2.
Tehtävän yleisin virhe oli, ettei ollut ymmärretty jakaa viimeistä
integraalia kahteen osaan. Näin oli saatu integraaliksi nolla, vaikka
integroitavan funktion kuvaaja on x-akselin yläpuolella. Tästä virheestä
otettiin kuitenkin vain 1 piste. Muuten integraalit olivat sujuneet
yleisesti ottaen hyvin. Pisteitä ei vähennetty, vaikka toisen integraalin
logaritmeja ei olisi laskettu loppuun asti (eli vastaus oli jätetty
esimerkiksi muotoon ln e - ln 1).
Tehtävä 3. a)
Tehtävästä sai täydet pisteet, jos muisti ulkoa eksponentiaalisen kasvun
kaavan tai osasi johtaa sen separoituvan differentiaaliyhtälön ratkaisuna.
Jos kaavan muisti väärin, mutta siinä oli kuitenkin jotain tolkkua,
myönnettiin 1-3 pistettä.
Verrannollisuuskertoimen arvo aiheutti toisilla hämmennystä. Kurssilla
käytettiin kaavaa y(t) = C·e^(kt), missä k on
verrannollisuuskertoimen arvo, ja C bakteerien määrä alkutilassa. Vain
tämän kaavan käyttö oikeutti täysiin pisteisiin. Kuitenkin toisinaan tässä
yhteydessä käytetään kaavaa y(t) = C·k^t. Tämä on sama kuin y(t) =
C·e^(ln k·t) ja johtaa siis eri tulokseen kuin kurssilla
käytetty muoto. Ero on kuitenkin vain verrannollisuuskertoimessa (toisessa
kaavassa on ln k), ja päätin ottaa tästä virheestä vain yhden pisteen.
Tehtävä 3. b)
Tehtävässä piti selvittää integroimalla sinifunktion ja x-akselin väliin
jäävän alueen pinta-ala välillä [π, 8]. Pinta-ala piti laskea erikseen
niillä alueilla, missä sinifunktio on negatiivinen. Jos tätä ei ollut
ottanut huomioon, sai tehtävästä maksimissaan kolme pistettä. Muutamat
olivat yllättäen laskeneet pinta-alan välillä [0, 8], mutta tästä
huolimattomuudesta vähennettin vain yksi piste.
Tehtävä 4.
Tämä tehtävä oli selvästi haastavin. Yleensä kaikenlaisia virheitä
esiintyi. Jos oli muodostanut differentiaaliyhtälön oikein, sai 2
pistettä. Lisäpisteitä sai, jos oli osannut muodostaa annetun
lähtötilanteen mukaisen alkuarvotehtävän, ratkaista saatavan separoituvan
yhtälön sekä määrittää verrannollisuuskertoimen arvon. Monet eivät olleet
osanneet ratkaista separoituvaa yhtälöä, ja he olivat usein yrittäneet
ratkaista kertoimia muilla keinoilla. Tällöin pisteitä sai vain tehtävän
alkuosasta: 2-3 pistettä. Pelkästä virtauskaavion piirtämisestä ei
myönnetty pisteitä, sen sijaan oikeansuuntaisesta differentiaaliyhtälöstä
sai mahdollisesti yhden pisteen.
Tehtävä 5
Käänteismatriisin löytämisestä sai kaksi pistettä, samoin ensimmäisen
yhtälöryhmän ratkaisemisesta kuten myös perustellusta vastauksesta
viimeiseen kysymykseen. Yhtälöryhmiä ei tarvinnut ratkaista
käänteismatriisin avulla, vaikka se oli helpointa. Viimeistä yhtälöryhmää
ei oikeastaan tarvinnut ratkaista ollenkaan, sillä käänteismatriisin
olemassaolo takaa sen, että ratkaisuja on tasan yksi. Laskuvirheistä
vähennettin yhteensä 1-2 pistettä. Jos käänteismatriisin laskemisessa oli
tapahtunut laskuvirhe, ja yhtälöryhmän ratkaisu oli siksi väärä,
vähennettiin tästä vain yksi piste. Pelkästä vastauksesta viimeiseen
kysymykseen ilman mitään perusteluja sai vain yhden pisteen.
Joillakin vastaus viimeiseen kysymykseen oli oikein, mutta perustelut
virheellisiä. Toisilla taas vastaus oli väärin mutta perustelut oikein.
(Esimerkiksi oli ratkaistu jälkimmäinen yhtälöryhmä oikein ja saatu vain
yksi ratkaisu, mutta silti väitetty että ratkaisuja on äärettömän monta!)
Näissä tapauksissa vastauksesta myönnettin kuitenkin yksi piste.
Jos oli muistanut ykkösmatriisin lävistäjän väärin päin, mutta oli
laskenut muuten oikein, vähennettin vain 1 piste.
Kokeeseen osallistui yhteensä 42 opiskelijaa, joista vain 29 suoritti kokeen
hyväksytysti (läpäisysuhde 69 %). Alla arvosanajakauma sekä linkit
malliratkaisuihin.
* ** **
** *** *** ***
*** *** *** * ***
1 2 3 4 5
Malliratkaisut: PS,
PDF
Arvosteluperusteet
Seuraavassa eritellään yksittäisten tehtävien arvosteluperusteita sekä
muutamia yleisimmin esiintyneitä virheitä.
Tehtävä 1
Tehtävässä piti osata käyttää oikeita derivointisääntöjä. Tämä oli
useimmilta onnistunutkin. Joka kohdasta sai maksimissaan kaksi pistettä,
joista toisen saattoi menettää sievennys- tai huolimattomuusvirheestä ja
molemmat väärän säännön käytöstä.
Yksi usein esiintynyt virhe oli derivoida erikseen murtolausekkeen
osoittaja ja nimittäjä, kun olisi pitänyt käyttää murtolausekkeen
derivointikaavaa. Yhtä usein oli derivoitu polynomi neliöjuuren alta
ottamatta juurta lainkaan huomioon. Hyvin monessa ratkaisussa oli myös
sievennetty juurilauseketta jotenkin väärin.
Tehtävä 2.
Tehtävän differentiaaliyhtälön pystyi ratkaisemaan suoraan integroimalla.
Monet olivat unohtaneet ottaa integroimisvakiot huomioon, jolloin
alkuarvoja ei päässyt käyttämään (ainakaan oikein). Tällöin koko
tehtävästä sai vain kolme pistettä. Jos oli huomannut ottaa
integroimisvakiot mukaan, mutta unohtanut integroida C -> Ct, menetti 1-2
pistettä. Jotkut olivat luulleet yhtälöä separoituvaksi, mitä se ei ole.
Tällaisessa tapauksessa saatoin antaa jonkin pisteen, jos ratkaisussa oli
kuitenkin jotain järkeä. Jos siniä tai kosinia integroitaessa oli valittu
väärä merkki, menetti yhden pisteen.
Tehtävä 3. a)
Tämä oli yleensä joko osattu kokonaan tai sitten ei. Siitä, että
derivoimalla osoitti toisen funktion olevan toisen integraalifunktio, sai
kolme pistettä, ja toisen kolme sai oikeasta integroinnista.
Tehtävä 3. b)
Tehtävä oli otettu luentomateriaalista. Pelkästä pinta-alan funktion
muodostamisesta sai 1-2 pistettä, oikeasta derivoinnista lisäksi yhden
pisteen. Jos ei ollut antanut mitään perusteluja sille, miksi derivaatan
nollakohdassa oleva arvo on suurin (eikä esimerkiksi pienin), saattoi
saada korkeintaan 5 pistettä.
Tehtävä 4.
Tehtävässä oli tarkoitus laskea pyydetty pinta-ala ensin k:n arvoilla 1 ja
2, mutta sallittua oli myös laskea suoraan yleinen tapaus ja päätellä sen
perusteella nämä erikoistapaukset.
Pisteytys jakautui niin, että erikoistapausten laskemisesta sai 3
pistettä, yleisen tapauksen laskemisesta lisäksi 2, ja viimeisen pisteen
sai oikeasta raja-arvon päättelystä. Kuitenkin, jos oli laskenut vain
yleisen tapauksen oikein, sai neljä pistettä. Raja-arvoa ei tarvinnut
perustella täsmällisesti. Jos oli edes tajunnut, että tehtävässä on
tarkoitus integroida jotakin, niin sai yhden pisteen.
Tehtävä 5
Katso edellisen kokeen (17.12.) 5. tehtävä.
Kokeeseen osallistui yhteensä 27 opiskelijaa, joista 15 suoritti
kokeen hyväksytysti (läpäisysuhde 56 %). Alla tarkempi arvosanajakauma
sekä linkit malliratkaisuihin.
**
***
***
*** * * ***
*** *** *** ** ***
1 2 3 4 5
Malliratkaisut: PS,
PDF
Arvosteluperusteet
Seuraavassa eritellään yksittäisten tehtävien arvosteluperusteita sekä
muutamia yleisimmin esiintyneitä virheitä.
Tehtävä 1
Tehtävässä piti osata käyttää oikeita derivointisääntöjä. Tämä oli
useimmilta onnistunutkin. Joka kohdasta sai maksimissaan kaksi pistettä,
joista toisen saattoi menettää sievennys- tai huolimattomuusvirheestä ja
molemmat väärän säännön käytöstä.
Yksi yleinen virhe oli jättää vakio e derivoimatta tai saada sen
derivaataksi 1. Vakion derivaattahan on aina 0, oli se sitten 1, 2, 3, e
tai π. Koska tämä oli kuitenkin (tarkoituksella) hieman hämäävä kohta,
yksi piste vähennettiin vain jos tehtävä oli muuten täysin oikein.
Kolmannen lausekkeen kohdalla ei oltu yleisesti ymmärretty käyttää tulon
derivoimissääntöä, vaikka kyseessä oli selvästi eksponenttifunktion ja
sinifunktion tulo. Jos kuitenkin kumpikin funktio erikseen oli derivoitu
oikein, sai tästäkin kohdasta yhden pisteen.
Tehtävä 2.
Tehtävässä piti ratkaista laskea tietyn funktion nollakohdan ja todeta,
että kyseinen funktio on nollakohtiensa välillä negatiivinen. Lopuksi piti
vielä ratkaista kuvaajan ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala
integroimalla. Jos jätti negatiivisuuden huomioimatta, menetti 1-2
pistettä. Nollakohtien laskeminen ja integrointi oli useimmilla suoritettu
oikein. Pelkällä nollakohtien ratkaisemisella ansaitsi jo 2 pistettä.
Tehtävä 3. a)
Tehtävä oli samantapainen kuin 17.12. pidetyssä
tentissä. Eksponentiaalisen kasvun kaavan saattoi kirjoittaa
ulkomuistista tai johtaa separoituvasta differentiaaliyhtälöstä. Kaavasta
sai neljä pistettä, ja sen soveltamisesta ennustamiseen loput kaksi. Jos
kaavan muisti väärin, mutta siinä oli kuitenkin jotain tolkkua,
myönnettiin 1-3 pistettä neljän sijasta.
Tehtävä 3. b)
Tämä alkuarvotehtävä ratkesi suoraan integroimalla. Jos unohti integroida
integroimisvakion, menetti kaksi pistettä. Jos unohti integroimisvakiot
kokonaan, menetti 3-4 pistettä. Merkkivirhe siniä tai kosinia
integroidessa maksoi vain yhden pisteen.
Tehtävä 4.
Katso 17.12. pidetyn tentin 4. tehtävä.
Tehtävä 5
Käänteismatriisin löytämisestä sai 3 pistettä, yhtälöryhmän
ratkaisemisesta 2 pistettä ja viimeiseen kysymykseen vastaamisesta 1
pisteen. Jos vastauksesta näkyi, että eliminointimenetelmästä on ollut
jotain hajua, sai 1-2 pistettä, vaikka muuta ei olisi osattu.
Takaisin kurssin pääsivulle